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Kurz erklärt: Was ist eine Lebenszykluskostenanalyse (LCCA)?

Kurz erklärt: Was ist eine Lebenszykluskostenanalyse (LCCA)?

Blogbeiträge

Einführung

Lebenszykluskostenanalyse (LCCA) ist die Methode zur Untersuchung der gesamten Betriebskosten eines Assets — von Anschaffung, Betrieb und Wartung bis zur Entsorgung — ausgedrückt als vergleichbare Barwerte. So lassen sich Alternativen nach ihren tatsächlichen Kosten über den gesamten Lebenszyklus bewerten statt nach ihren Anschaffungskosten.

Die Bedeutung liegt auf der Hand: Der Kaufpreis ist in der Regel der kleinste Teil der Gesamtkosten. Bei energieverbrauchenden rotierenden Anlagen übersteigen die Stromkosten über die Nutzungsdauer die Investitionskosten routinemäßig um ein Vielfaches. Bei Prozessanlagen übersteigen Wartung und ungeplante Ausfallzeiten häufig beides. Eine Beschaffungsentscheidung, die allein auf Investitionskosten basiert, beruht in den meisten technischen Kontexten auf der falschen Kennzahl.

Dieser Artikel definiert LCCA, grenzt sie von häufig verwechselten Begriffen ab, erläutert die Mathematik, führt durch die Normen und zeigt Anwendungen in verschiedenen Branchen — mit einem eigenen Abschnitt zu Öl- und Gasindustrie, wo die Kosten am höchsten sind und die Methode am etabliertesten ist.

LCC, LCCA und TCO: Was die Begriffe tatsächlich bedeuten

Diese drei Begriffe werden in den meisten Gesprächen synonym verwendet, und diese Ungenauigkeit führt zu realen Problemen bei der Festlegung des Untersuchungsrahmens und bei der Softwareauswahl. Es lohnt sich, die Unterschiede zu beachten.

Begriffe im Vergleich
Begriff Was es ist Typische Anwendung
Lebenszykluskostenrechnung (LCC) Der Methode — der Prozess der Erfassung und Abzinsung aller Kosten über einen definierten Lebenszyklus Die Disziplin selbst, geregelt durch ISO 15686-5 und IEC 60300-3-3
Lebenszykluskostenanalyse (LCCA) Der Anwendung — Anwendung von LCC zum Vergleich definierter Alternativen für eine Entscheidung Bewertung von Optionen: Welche Pumpe, welche Legierung, welches Wartungsintervall, welches Design
Gesamtbetriebskosten (TCO) Eine kaufmännische Betrachtung, meist enger gefasst — häufig ohne Abzinsung und auf die Kosten des Käufers konzentriert Beschaffung und Lieferantenvergleich; Entsorgung und Externalitäten häufig ausgeschlossen
Lebenszykluskostenrechnung (WLC) Umfassender als LCC — ergänzt Einnahmen, Externalitäten und nicht baubezogene Kosten Business Cases für Bauumfeld und Infrastruktur gemäß ISO 15686-5
Umweltbezogene LCC LCC mit derselben Systemgrenze und funktionellen Einheit wie eine LCA Kombinierte wirtschaftliche und ökologische Bewertung, sodass Kosten und Auswirkungen direkt vergleichbar sind
In der Praxis

LCC beschreibt die Methode; LCCA den Zweck. Eine Studie, die die Lebenszykluskosten eines einzelnen Assets berechnet, ist LCC. Sobald zwei oder mehr Optionen zur Entscheidungsunterstützung gegenübergestellt werden, handelt es sich um LCCA — und die Analyse benötigt dann eine gemeinsame funktionelle Einheit, einen gemeinsamen Untersuchungszeitraum und einen gemeinsamen Abzinsungssatz, sonst ist der Vergleich ungültig.

Die Mathematik von LCCA

LCCA ist die Anwendung der Discounted-Cashflow-Methode auf eine technische Entscheidung. Alles Folgende beruht auf einem Grundsatz: Geld hat einen Zeitwert, daher können Kosten aus verschiedenen Jahren erst addiert werden, wenn sie auf einen gemeinsamen Zeitpunkt bezogen sind.

1. Der Barwert zukünftiger Kosten

Abzinsung einzelner zukünftiger Kosten PV = Ct(1 + r)t
  • PV — Barwert der Kosten
  • Ct — die im Jahr anfallenden Kosten t
  • r — der Abzinsungssatz
  • t — das Jahr, in dem die Kosten anfallen

2. Die zentrale Gleichung für LCC

Lebenszykluskosten in Barwertform LCC = C0 + Σt=1n Cop,t + Cm,t + Ce,t + Cd,t(1 + r)t − Rn(1 + r)n
  • C0 — Anschaffungskosten: Kauf, Lieferung, Installation, Inbetriebnahme, Schulung
  • Cop,t — Betriebskosten im Jahr t, ohne Energiekosten
  • Cm,t — Wartungskosten im Jahr t, geplant und ungeplant
  • Ce,t — Energiekosten im Jahr t
  • Cd,t — Kosten für Ausfallzeiten, Produktionsverluste oder Schadensfolgen im Jahr t
  • Rn — Rest- oder Verwertungswert am Ende der Nutzungsdauer, abzüglich Entsorgungskosten
  • n — Untersuchungszeitraum in Jahren

Beachten Sie das Vorzeichen des letzten Terms. Der Restwert ist ein Nutzen und wird abgezogen. Übersteigen die Entsorgungskosten den Verwertungswert — etwa bei der Stilllegung einer Offshore-Anlage, der Sanierung eines Standorts oder der Entsorgung eines Katalysators — ist Rn negativ, und der Term erhöht die Gesamtsumme.

3. Reale und nominale Sätze

Der mit Abstand häufigste Fehler bei einer LCCA ist die Vermischung realer und nominaler Größen. Diskontieren Sie entweder reale Cashflows mit einem realen Satz oder nominale Cashflows mit einem nominalen Satz — niemals das eine mit dem anderen.

Die Fisher-Gleichung (1 + rnom) = (1 + rreal) × (1 + i)
  • rnom — nominaler Abzinsungssatz
  • rreal — realer Abzinsungssatz
  • i — allgemeine Inflationsrate

Wenn eine Kostenkategorie stärker oder schwächer steigt als die allgemeine Inflation — was bei Energie und spezialisierten Arbeitskräften in der Regel der Fall ist — erhält diese Kategorie ihre eigene Steigerungsrate e, und die Kosten im Jahr t lauten:

Steigerung wiederkehrender Kosten Ct = C0 × (1 + e)t

4. Gleichbleibende jährliche Kosten und der Rentenbarwertfaktor

Wenn Kosten jedes Jahr in gleicher realer Höhe anfallen, kann die gesamte Reihe in einem Schritt statt Jahr für Jahr abgezinst werden.

Barwert einer gleichbleibenden jährlichen Reihe PV = A × 1 − (1 + r)−nr
  • A — die gleichbleibenden jährlichen Kosten
  • Der eingeklammerte Term ist der Rentenbarwertfaktor

5. Äquivalente Jahreskosten — Vergleich unterschiedlicher Nutzungsdauern

Zwei Optionen mit unterschiedlichen Nutzungsdauern können nicht anhand ihres gesamten Barwerts verglichen werden. Die Umrechnung jeder Option in äquivalente Jahreskosten schafft eine gemeinsame Vergleichsbasis.

Äquivalente Jahreskosten EAC = LCC × r1 − (1 + r)−n
  • EAC — die konstanten jährlichen Kosten mit demselben Barwert wie der gesamte Lebenszyklus
  • Der Multiplikator ist der Kapitalwiedergewinnungsfaktor

Eine Pumpe mit fünfzehnjähriger Nutzungsdauer und eine Pumpe mit zehnjähriger Nutzungsdauer werden anhand von EAC verglichen, nicht anhand von LCC. Diese Korrektur fehlt in Kostenvergleichen von Lieferanten am häufigsten.

6. Inkrementelle Amortisation einer Option mit höheren Investitionskosten

Einfache und abgezinste Amortisation PBsimple = ΔC0ΔSjährlich ΔC0 = Σt=1PBdisc ΔSt(1 + r)t
  • ΔC0 — die zusätzlichen Investitionskosten der besseren Option
  • ΔS — die jährliche Einsparung bei Betriebs-, Energie- oder Wartungskosten

7. Verfügbarkeit und Kosten mangelnder Zuverlässigkeit

In der Prozessindustrie dominiert in der Regel der Kostenblock für Ausfallfolgen. Er wird aus Zuverlässigkeitsparametern abgeleitet und nicht direkt geschätzt.

Verfügbarkeit und Stillstandskosten A = MTBFMTBF + MTTR Cd,t = (1 − A) × H × ΔM
  • A — inhärente Verfügbarkeit
  • MTBF — mittlere Zeit zwischen Ausfällen
  • MTTR — mittlere Reparaturzeit
  • H — Betriebsstunden pro Jahr
  • ΔM — entgangener Deckungsbeitrag je Stunde Produktionsausfall

8. Energiekosten rotierender Anlagen

Jährliche Energiekosten einer Pumpe oder eines Verdichters Ce = Q × H × ρ × gηp × ηm × h × pe
  • Q — Volumenstrom
  • H — Gesamtförderhöhe
  • ρ — Dichte des Fluids, g — Erdbeschleunigung
  • ηp, ηm — Wirkungsgrad von Pumpe und Motor
  • h — jährliche Betriebsstunden, pe — Energiepreis je Einheit

Ein Wirkungsgradunterschied von zwei Prozentpunkten zwischen zwei Pumpen wirkt im Datenblatt geringfügig. Über diese Gleichung, gerechnet für 8.000 Stunden pro Jahr über fünfzehn Jahre und abgezinst, übersteigt er jedoch häufig die gesamte Differenz im Anschaffungspreis.

9. Sensitivität und Unsicherheit

Ein LCCA-Ergebnis ohne Unsicherheitsangabe ist eine Behauptung, keine Analyse. Zwei Mechanismen sind Standard.

Sensitivitätskoeffizient und Wechselwert Sx = ΔLCC / LCCΔx / x
  • Sx — Elastizität des Ergebnisses gegenüber der Eingangsgröße x: Um wie viel Prozent sich LCC je prozentualer Änderung der Eingangsgröße verändert
  • Der Wechselwert ist der Wert von x bei dem sich die bevorzugte Option ändert — oft entscheidungsrelevanter als die Punktschätzung

Sind mehrere Eingangsgrößen gleichzeitig unsicher, erzeugt eine Monte-Carlo-Simulation über die Eingangsverteilungen eine Verteilung von LCC statt eines einzelnen Werts; der Vergleich wird dann zur Wahrscheinlichkeit, dass Option A Option B übertrifft.

Ein Rechenbeispiel

Zwei Kreiselpumpen für dieselbe Aufgabe, 8.000 Betriebsstunden pro Jahr, Untersuchungszeitraum von zwölf Jahren, realer Diskontsatz von 6 Prozent. Die Werte dienen der Veranschaulichung und sind gerundet; sie zeigen die Struktur und bilden keine spezifische Anlage ab.

Barwertvergleich, 12-jähriger Untersuchungszeitraum bei 6 Prozent
Kostenelement Option A — geringe Investition Option B — hoher Wirkungsgrad Differenz
Anschaffung und Installation 40,000 62,000 +22,000
Energie, PV über 12 Jahre 318,000 268,000 −50,000
Geplante Instandhaltung, PV 46,000 38,000 −8,000
Kosten ungeplanter Ausfälle, PV 52,000 24,000 −28,000
Restwert, PV −2,000 −4,000 −2,000
Lebenszykluskosten 454,000 388,000 −66,000

Option B kostet in der Anschaffung 55 Prozent mehr und verursacht im Besitz 15 Prozent weniger Kosten. Die Anschaffung macht weniger als 14 Prozent der Lebenszykluskosten von Option A aus, Energie rund 70 Prozent — dies ist typisch für kontinuierlich betriebene rotierende Anlagen und der Grund, warum eine Beschaffung allein nach Investitionskosten systematisch die teurere Anlage auswählt.

Die Normenebene

  • ISO 15686-5 — Gebäude und bauliche Anlagen, Planung der Nutzungsdauer, Teil 5: Lebenszykluskostenrechnung. Die Referenz für die gebaute Umwelt und Quelle der Unterscheidung zwischen LCC und WLC.
  • IEC 60300-3-3 — Zuverlässigkeitsmanagement, Anwendungsleitfaden für Lebenszykluskostenrechnung. Die Referenz für Anlagen und Systeme, in der die Verknüpfung zur Zuverlässigkeit formalisiert ist.
  • ASTM E917 — Standardpraxis zur Messung der Lebenszykluskosten von Gebäuden und Gebäudesystemen, ergänzt durch die zugehörigen E964, E1057 und E1074 für Kosten-Nutzen-Analyse, Amortisation und angepassten internen Zinsfuß.
  • ISO 14040 und ISO 14044 — wenn LCC mit LCA kombiniert wird, definieren diese die Systemgrenze und funktionelle Einheit, die beide gemeinsam haben müssen.
  • ISO 55000-Reihe — Asset Management, in dem Lebenszykluskosten als wirtschaftliche Entscheidungsgrundlage dienen.
  • NIST Handbook 135 — die bundesweite Methodik zur Lebenszykluskostenrechnung und Grundlage des Berechnungsansatzes für BLCC.
Der Maßstab für Vergleichbarkeit

Unabhängig von der jeweils geltenden Norm muss die Studie ihren Analysezeitraum, Diskontsatz, Preisbasisdatum, Annahmen zur Preissteigerung und Systemgrenze angeben. Zwei LCCAs, die sich in einem dieser Punkte unterscheiden, sind nicht vergleichbar; eine prüfende Person wird alle fünf Angaben verlangen, bevor sie das Ergebnis betrachtet.

Anwendungen in verschiedenen Branchen

Wo LCCA die Entscheidung verändert
Branche Typische Entscheidung Dominierender Kostentreiber
Manufacturing Auswahl von Werkzeugmaschinen oder Linien, Ersatzteilstrategie, Nachrüstung oder Ersatz Stillstandskosten pro Stunde und Energieintensität je produzierter Einheit
Gebäude und Bauwesen HVAC-Systeme, Spezifikation der Gebäudehülle, Materialwahl in der Planungsphase Betriebsenergie und Erneuerungszyklen über einen Zeitraum von 30–60 Jahren
Energieversorgung und Versorgungsunternehmen Erzeugungs- und Speichertechnologie, Transformatorspezifikation Brennstoff oder Verluste sowie Annahmen zum Kapazitätsfaktor
Transportflotten Auswahl des Antriebsstrangs, Austauschintervall, Leasing oder Eigentum Kraftstoff oder Strom, Restwert und unterschiedliche Instandhaltung der Antriebsstränge
Wasser und Abwasser Pumpsysteme, Rohrmaterial, Konfiguration der Aufbereitungsstufen Pumpenergie über Nutzungsdauern von mehreren Jahrzehnten sowie Chemikaliendosierung
Gesundheitswesen Beschaffung von Bildgebungs- und Diagnosegeräten Serviceverträge, Verbrauchsmaterialien und nutzungsabhängige Ausfallzeiten
Rechenzentren und ICT Kühlarchitektur, Erneuerungsintervall der Hardware, UPS-Topologie Power Usage Effectiveness und Investitionen für Erneuerungszyklen
Öffentliche Infrastruktur Fahrbahnauslegung, Brückenmaterial, Instandhaltungsregime Sanierungsintervalle und Kosten für Nutzungsverzögerungen während der Arbeiten
Bergbau Transportflotte, Förderband oder Lkw, Zerkleinerungskreislauf Energie pro Tonne, Verschleißteile und Verfügbarkeit

LCCA in der Öl- und Gasindustrie

In der Öl- und Gasindustrie steht die Lebenszykluskostenrechnung besonders stark im Fokus und hat zugleich die längste Geschichte. Anlagenlaufzeiten reichen über Jahrzehnte, einzelne Ausrüstungsteile kosten Millionen, eine Stunde ungeplanter Stillstand einer produzierenden Anlage kann die gesamten Anschaffungskosten des verursachenden Teils übersteigen, und Rückbauverpflichtungen liegen am Ende des Betrachtungszeitraums, wo die Abzinsung ihren Barwert täuschend gering erscheinen lässt, obwohl sie als Zahlungsstrom weiterhin sehr hoch sind.

Einsatzbereiche der Analyse

  • Auswahl rotierender Anlagen — Pumpen, Kompressoren und Turbinen, bei denen Effizienz, Redundanzkonzept und MTBF die Gesamtkosten stärker bestimmen als Investitionskosten.
  • Werkstoffauswahl — der klassische Zielkonflikt zwischen korrosionsbeständiger Legierung mit hohen Investitionskosten und Kohlenstoffstahl mit chemischer Inhibierung, Korrosionszuschlag, Inspektionen und späterem Ersatz. Die Legierung ist bei LCC in schwefelwasserstoffhaltigen oder chloridreichen Anwendungen meist vorteilhafter, bei der Beschaffung zu Investitionskosten jedoch meist nicht.
  • Strategie für Wärmetauscher und Fouling — Abwägung der Reinigungsfrequenz gegen Energieverluste und Durchsatzeinbußen, mit einem bestimmbaren optimalen Intervall.
  • Optimierung von Turnaround-Intervallen — eine Verlängerung des Intervalls verschiebt Kosten, erhöht aber die Ausfallwahrscheinlichkeit. Das Optimum liegt dort, wo der marginale Nutzen der Verschiebung den marginalen Risikokosten entspricht.
  • Fackelgasrückgewinnung und Dampfrückgewinnungsanlagen — Investitionskosten gegenüber dem Wert zurückgewonnener Produkte, vermiedenen Emissionen und zunehmend auch der CO2-Preisexposition.
  • Behandlung von Förderwasser — Aufbereitung und Reinjektion gegenüber Entsorgung über die Lebensdauer eines Feldes, in der der Wasseranteil kontinuierlich steigt und die Wirtschaftlichkeit Jahr für Jahr verändert.
  • Erkennung und Reparatur von Methanleckagen — Prüfungsfrequenz und Technologiewahl gegenüber dem Wert zurückgewonnenen Gases, möglichen regulatorischen Sanktionen und Berichtspflichten.
  • Auswahl künstlicher Förderung — ESP, Gaslift, Gestängetiefpumpe oder PCP, wobei meist Eingriffshäufigkeit und Workover-Kosten statt der installierten Kosten über das Ergebnis entscheiden.
  • Offshore- gegenüber Onshore-Verarbeitung — das Gewicht der Aufbauten erhöht die Investitionskosten überproportional, während die Onshore-Verarbeitung zusätzliche Pipeline-Investitionen und Betriebskosten verursacht.
  • LNG-Boil-off und -Eindämmung — Spezifikation von Tanks und Behältern gegenüber Frachtverlusten über Jahrzehnte des Betriebs.
  • Stilllegung und Aufgabe — der negative Restwertposten, für den Regulierungsbehörden zunehmend Rückstellungen verlangen, statt ihn auszublenden.
  • CCUS- und Elektrifizierungsnachrüstungen — bei denen ein CO2-Preis die Emissionskomponente zu direkten Zahlungsströmen innerhalb der LCC macht, statt sie als externen Faktor zu behandeln.

Die CO2-Komponente

Wenn ein CO2-Preis, ein interner Schattenpreis oder eine Compliance-Verpflichtung gilt, werden Emissionen als bewerteter Zahlungsstrom wie jeder andere in die LCC aufgenommen:

CO2-Kosten innerhalb der LCC Cc,t = Et × pc,t LCCgesamt = LCCkonventionell + Σt=1n Et × pc,t(1 + r)t
  • Et — Emissionen im Jahr t, in Tonnen CO₂e
  • pc,t — CO2-Preis im Jahr t, der üblicherweise entlang einer eigenen Entwicklung eskaliert wird

Hier treffen LCC und LCA operativ zusammen. Die Emissionsmenge stammt aus dem Lebenszyklusinventar, der Preis aus dem Markt oder dem unternehmensinternen Schattenpreis, und das Ergebnis ist eine einzelne Kennzahl, auf deren Grundlage ein Investitionsgremium entscheiden kann. Ausrüstung, die bei einem CO2-Preis von null nur knapp vorteilhaft erschien, wird bei einem realistischen Preis häufig zur besseren Option. Deshalb zählt der CO2-Preis zu den ersten Variablen, für die eine Switching-Value-Analyse durchgeführt werden sollte.

Ein sektorspezifischer Hinweis

Lange Betrachtungszeiträume machen den Abzinsungssatz zur einflussreichsten Einzelannahme im Modell. Bei einem hohen Satz verschwinden Kosten und Verpflichtungen in 25 Jahren im Barwert nahezu, was systematisch Optionen mit niedrigen Investitionskosten, hohen Betriebskosten und hohen Rückbauverpflichtungen begünstigt. Der Satz sollte ausdrücklich angegeben, begründet und geprüft werden — nicht stillschweigend aus einer Unternehmensvorlage übernommen werden.

Ablauf einer LCCA-Studie

  1. 1Definieren Sie die Entscheidung. Welche Alternativen stehen zur Wahl, und wer wird auf Grundlage der Antwort handeln? Eine LCCA ohne zugeordnete Entscheidung liefert eine Zahl, die niemand nutzt.
  2. 2Legen Sie funktionelle Einheit und Systemgrenze fest. Optionen müssen dieselbe Leistung erbringen. Der Vergleich von Anlagen mit unterschiedlicher Kapazität oder Aufgabe ohne Normalisierung ist der häufigste strukturelle Fehler.
  3. 3Legen Sie Untersuchungszeitraum, Preisbasisdatum, Diskontsatz und Steigerungsraten fest. Legen Sie alle offen.
  4. 4Erstellen Sie die Kostenstruktur. Anschaffung, Betrieb, Energie, Wartung, Stillstandszeiten, Entsorgung, Restwert — jeweils einer Quelle zuordenbar.
  5. 5Erheben Sie Daten und bewerten Sie deren Qualität. Lieferantenangebote, historische Wartungsaufzeichnungen, Zuverlässigkeitsdatenbanken, Energietarife und klar gekennzeichnete Annahmen bei fehlenden Daten.
  6. 6Berechnen Sie Kapitalwert und äquivalente Jahreskosten. EAC bei unterschiedlich langen Nutzungsdauern der Optionen.
  7. 7Führen Sie Sensitivitäts- und Wechselwertanalysen durch mindestens für Diskontsatz, Energiepreis, Auslastung und Zuverlässigkeitsparameter.
  8. 8Berichten Sie die Entscheidung, nicht nur die Gesamtsumme. Die Empfehlung, die Bedingungen, unter denen sie sich umkehrt, und die Annahmen mit dem größten Einfluss.

Häufige Fehler

  • Reale und nominale Werte vermischen. Kosten mit der Inflationsrate zu steigern und anschließend mit einem nominalen Satz abzuzinsen, zählt die Inflation doppelt.
  • Unterschiedliche Nutzungsdauern anhand des gesamten LCC vergleichen statt anhand äquivalenter Jahreskosten.
  • Den Posten für Stillstandszeiten auslassen weil er schwer zu schätzen ist. Nicht berücksichtigt bedeutet nicht null, und in Prozessindustrien ist dies meist der größte Posten.
  • Verpflichtungen am Ende der Nutzungsdauer ignorieren oder den Restwert ohne Nachweis zu optimistisch ansetzen.
  • Vom Anbieter bereitgestellte Lebenszykluskostenzahlen ungeprüft übernehmen. Wirkungsgradkurve, MTBF und Wartungsintervall stammen alle von der Partei, die die Anlage verkauft.
  • Eine Punktschätzung ohne Sensitivitätsanalyse vorlegen. Ein Ergebnis, dessen Rangfolge sich bei einer Energiepreisänderung von fünf Prozent umkehrt, sollte dies klar ausweisen.
  • Die gesamte Studie in einer nicht nachvollziehbaren Tabellenkalkulation erstellen, in der die Annahmen nur im Kopf eines Analysten vorhanden sind und sechs Monate später, wenn die Entscheidung hinterfragt wird, nicht reproduziert werden können.

Fazit

Die Lebenszykluskostenanalyse korrigiert eine strukturelle Verzerrung bei der Beschaffung in Organisationen: Die Investitionssumme ist sichtbar, unmittelbar und dem Einkauf zugeordnet, während Betriebs- und Wartungskosten verteilt, künftig und anderen Verantwortlichen zugeordnet sind. LCCA führt sie in einer vergleichbaren Kennzahl zusammen und verändert bei korrekter Durchführung die Entscheidung.

Die Methodik ist konzeptionell nicht schwierig — sie verbindet abgezinste Cashflows mit einer technischen Kostenstruktur. Die Herausforderung liegt in der Praxis: belastbare Daten zusammenzuführen, Annahmen konsistent zu halten und offenzulegen, die Einflussfaktoren des Ergebnisses zu prüfen und eine Analyse zu erstellen, die Prüfer oder Auditoren nachvollziehen können. Darin liegt die eigentliche Arbeit, und daran scheitern die meisten Studien, nicht an der Mathematik.

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